Okolica obravnavane manifestacije se najprej zavrti za kot −βk okrog (xk , yk ), s čimer se ustrezno spremenijo parametri vseh manifestacij v okolici.

Fronto kaosa h v vsakem xk definiramo kot maksimalen yk,p , za katerega je u(xk , yk,p ) neničeln.

Definiramo ekvivalenčno relacijo glede na ultrafilter ω: (xn )n ∼ (yn )n ⇐⇒ {k : xk = yk } ∈ ω.

Za poljubni razčlenitvi λ, µ in xk = λk − k + 12 , yk = λ′k − k + 21 velja: ∑︂ ∑︂ xk + yk .

Kot že vemo, k+1-vo število y dobimo s pomočjo enačbe yk+1 = 2xk +5yk .

Po izreku 10 so vse naravne rešitve enačbe (7) zajete v obrazcu √ √ xk + yk 6 = (5 + 2 6)k .

Po izreku 11 torej dobimo enačbi xk+1 = 5xk + 12yk in yk+1 = 2xk + 5yk , ki nas privedeta do ostalih rešitev.

Vzemimo, da imamo na voljo množico K parov vhodno-izhodnih vzorcev (xk , yk ).

Kot smo omenili v razdelku 3.3, je sistem Bk+1 ∆xk = yk podoločen, zato moramo vpeljati dodatne omejitve.

Učni postopek nato sistematično pregleda vhodne reprezentacije in obravnava n−1 vsako manifestacijo Mkn−1 = (Zρ(k) , βk , (xk , yk )) posebej.

Zavoljo poenostavitve zapisa kvazi-Newtonovega pogoja označimo yk = ∇f (xk+1 ) − ∇f (xk ) in tako dobimo Bk+1 ∆xk = yk .

Algoritem najprej zavrti okolico Mkn−1 okrog točke (xk , yk ) za kot −βk , s čimer orientacija Mkn−1 postane 0◦ .

" " Postopek: n−1 1: Zavrti (dovolj veliko) prostorsko okolico Mk za kot −βk okrog (xk , yk ).

Zlepek uporablja K različnih racionalno kvadratičnih funkcij, ki gredo skozi K +1 vozljev, katerih koordinate označimo z {(xk , yk )}K k=0 .

Z upoštevanjem enačbe (3.14) lahko kvazi-Newtonov pogoj (3.9) zapišemo kot: Bk+1 ∆xk = Bk ∆xk + αuk ukT ∆xk + βvk vkT ∆xk = yk .

Dobimo Bk ∆xk + αyk ykT ∆xk + βBk ∆xk ∆xkT BkT ∆xk = yk , Bk ∆xk (1 + β∆xkT BkT ∆xk ) = yk (1 − αykT ∆xk ).

T Dk = diag[∆x0T y0 , ∆x1T y1 , . . . , ∆xk−1 yk−1 ] pa je diagonalna matrika velikosti k × k.

L1 ( xk ) ; yk +1 = L2 ( yk ) R1 ( xk ) ; yk +1 = R2 ( yk ) za vsako naravno število k , dobro definirana .